A.**公司可在向该省高院申请再审的同时，申请检察建议

B.在甲市检察院驳回检察建议申请后，**公司可向该省检察院申请抗诉

C.甲市检察院在审查检察建议申请过程中，可向**公司调查核实案情

D.甲市检察院在审查检察建议申请过程中，可向**公司调查核实案情

【正确答案】CD

【答案解析】选项A错误。《民事诉讼法》第二百零九条第一款规定，有下列情形之一的，当事人可以向人民检察院申请检察建议或者抗诉：（一）人民法院驳回再审申请的；（二）人民法院逾期未对再审申请作出裁定的；（三）再审判决、裁定有明显错误的。据此可知，当事人申请再审的，需要等再审法院作出相应处理或不予处理后，才能申请检察建议，而不能在申请再审的同时就申请检察建议。

选项B错误。《民事诉讼法》第二百零九条第二款规定，人民检察院对当事人的申请应当在三个月内进行审查，作出提出或者不予提出检察建议或者抗诉的决定。当事人不得再次向人民检察院申请检察建议或者抗诉。据此可知，在甲市检察院驳回检察建议申请后，**公司不得再向该省检察院申请抗诉。

选项C.D正确。《民事诉讼法》第二百一十条规定，人民检察院因履行法律监督职责提出检察建议或者抗诉的需要，可以向当事人或者案外人调查核实有关情况。据此可知，甲市检察院在审查检察建议申请过程中，可以向**公司和**公司调查核实案情。